Ко дню науки в России ?? приурочено доказательство легендарной АВС теоремы. В этом мире очень востребована объективность и честность (интервью Вл. Путина Т. Карлсону - символ борьбы против лжи). 500 страниц (!) было потрачено выдающимся математиками Западного мира на поиск доказательств, но процесс поиска доказательств продолжается. И вот, одно из возможных сделано в России!

Оно понятно старшеклассникам, но опирается на знания физики. Док-во для "чистых математиков" будет в следующей серии.

В 1637 году Пьер де Ферма написал на полях "Диофантовой арифметики", что он нашел воистину чудесное доказательство неразрешимости уравнения Диофанта a^n + b^n = c^n, где натуральный показатель степени n > 2, но узкие поля книг не позволили ему привести полное доказательство.

Существует ли короткий и простой способ доказать последнюю теорему Ферма? Следующая ABC гипотеза утверждает, что для трёх взаимно-простых чисел A, B и C, удовлетворяющих соотношению A + B = C, произведение простых делителей A, B и C обычно ненамного меньше C. Обе теоремы формулируются очень просто, но чрезвычайно сложно доказываются. Сотни страниц были потрачены выдающимися математиками Западного мира на поиск доказательств, и процесс поиска доказательств продолжается. В этой работе автор приводит методы доказательства, понятные школьникам и студентам на основе синтеза ряда наук, включая физику. Теория чисел играет интересную роль в педагогике. 

 

 

Формула ABC гипотезы

 

max(|A|,|B|,|C|) < K(ε) Rad (A,B,C)^{1+ ε}

Формула (1) 

K только от ε. 

Rad - радикал чисел ABC равный произведению простых чисел, образующих эти числа, но возведенных в первую степень, например Rad(8) = 2 Rad (1000000) = Rad (2⁶*5⁶) = 30.

В качестве аналога радикала произведения чисел  A, B, C,  Rad(A, B, C) можно выбрать смесь газов с невырожденными уровнями энергии, что достигается при достаточно низкой температуре, когда активированы только поступательные степени свободы и вращательные для многоатомных молекул.  С учетом сказанного выше это будет означать первую степень простых чисел формулы (1).

 Идея доказательства

За счет управления Клапейрона PV = kNT можно контролировать температуру, давление газов регулируя начальную температуру, числу молекул смеси (концентрацию) и объем подсистемы.   С помощью термодинамических соотношений легко рассчитывается энергия молекул газа и энтропия, а значит и объем фазового пространства  Гi = exp(S(Ei)).  подобрать Г1, Г2, Г3 . . .  — статистические веса газов 1, 2, 3 в смеси соответственно равными простым числам формулы (1) в первой степени - радикалу Rad(A, B, C). Обозначим такое значение объема фазового пространства под Г0 , а соответствующую ему энтропию  S0 = lnRad(A, B, C). Если каждая из подсистем может находиться в одном из Гα квантовых состояний, то фазовые объемы подсистем перемножаются, а энтропии подсистем складываются. 

 

При адиабатическом сжатии

основное уравнение термодинамики примет вид внутренняя энергия газа уменьшается (увеличивается) как раз на величину произведенной  газом (над газом) работы. Согласно формуле первого закона термодинамики  dQ = dE  + pdV,  где dQ —  количество тепла, p — давление газа, dV — малое приращение объёма, сомножитель  pdV равен произведенной работе.  При адиабатическом процессе dQ = 0, теплового обмена нет, отсутствуют диссипативные процессы, а следовательно все изменения подсистемы остаются обратимыми. 

 

Из школьного курса термодинамики при адиабатическом процессе  соотношение между температурой и объемом приобретает вид PV^γ  = const или  TV^γ-1 = const, где  γ > 1  — это частное от деления теплоемкости при постоянном давлении на теплоемкость при постоянном объеме газа.  При адиабатическом сжатии  энтропия системы остается постоянной, но «включаются» вырожденные уровни энергии  εk, за счет увеличения температуры. Это сопровождается появлением степеней свыше единицы в формуле (1). 

 

Далее остается выделить фазовый объем, соответствующий  некоторым обобщенным координатам/ импульсам, например, связанным с квантовыми эффектами, в отдельное подмножество исследуемого фазового пространства и обозначить его литерой  A.  Оставшиеся  фазовый объем, соответствующий  обобщенным координатам классического движения обозначить литерой B.   Как было сказано выше в формуле (9),  энтропия является аддитивной функцией S_A + S_B = S_C.

 

В силу адиабатического сжатия, сохраняющего энтропию и условий поставленного эксперимента  

 S_A + S_B = SC  = S₀  = ln Rad(A, B, C) 

 

Поскольку при адиабатическом процессе сохраняется энтропия возможно возвращение подсистемы в исходное состояние SA + SB = SC  →  S0 . Поэтому знак равенства в последней формуле можно заменить на знак тождества.
 
Другими словами, для любой формулы (1) существует целый класс физических подсистем: идеальные газы, растворы,  колебания кристаллической решетки с квазичастицами — фононами, и так далее, где реализуются принципы умножения объемов фазовых пространств и сложения энтропии. 

 

Ссылки

Авдыев, М. А. Зачем школьнику XXI века доказательство Великой теоремы Ферма? / М. А. Авдыев // Наука, образование, общество: тенденции и перспективы развития : сборник материалов III Всероссийской научно-практической конференции, Чебоксары, 17 ноября 2023 года. – Чебоксары: Общество с ограниченной ответственностью "Центр научного сотрудничества "Интерактив плюс", 2023. – С. 9-20. – DOI 10.21661/r-560960. – EDN XWJNWW.

 Авдыев М. А. Великая теорема Ферма и ABC-гипотеза в школе XXI века: сборник трудов конференции. // Новое слово в науке: стратегии развития : материалы Всеросс. науч.-практ. конф. (Чебоксары, 18 янв. 2024 г.) / редкол.: В. И. Кожанов [и др.] – Чебоксары: Центр научного сотрудничества «Интерактив плюс», 2024. FERMAT'S LAST THEOREM AND ABC-CONJECTURE IN THE SCHOOL OF THE XXI CENTURY